発芽曲線のロジット分析

Logit Analysis

　発芽試験の数式近似に適切な関数について検証する手法です。

　まず発芽のデータがロジスティック関数に沿っていると仮定します。
　ｇ ＝ Ｇ／［１＋ｅ＾｛－（ａ＋ｂｔ）｝］
　ｔ：時間，ｇ：発芽率，Ｇ，ａ，ｂ：係数
　ここで、ｇ／Ｇ ＝ ｐ　とすると
　　　　　　　　　　　　ｐ ＝ １／［１＋ｅ＾｛－（ａ＋ｂｔ）｝］
　　 　　　　　　　　１／ｐ ＝ １＋ｅ＾｛－（ａ＋ｂｔ）｝
　　　　　　　（１／ｐ）－１ ＝ ｅ＾｛－（ａ＋ｂｔ）｝
　 　 （１／ｐ）－（ｐ／ｐ） ＝ ｅ＾｛－（ａ＋ｂｔ）｝
　　　　　　　（１－ｐ）／ｐ ＝ ｅ＾｛－（ａ＋ｂｔ）｝
　　　log_ｅ｛（１－ｐ）／ｐ｝＝ －（ａ＋ｂｔ）
　　　log_ｅ｛ｐ／（１－ｐ）｝＝ ａ＋ｂｔ
　このlog_ｅ｛ｐ／（１－ｐ）｝がｐのロジットlogit ｐ です。
　すなわち、最初のロジスティック関数の式は
　　　　　 logit ｐ ＝ ａ＋ｂｔ
と変形されますので、ｔとlogit ｐ の間に直線関係があれば、発芽試験データはロジスティック関数に沿っていることになります。

　しかし、実際の発芽試験データで時間ｔとlogit ｐ の関係をグラフ化してみると、直線ではなく上に凸の曲線になってしまいます。その一方、時間の対数log_ｅｔとlogit ｐ の間には、明確な直線関係が見られます。（図）
　したがって、ｔをlog_ｅｔ、ａをａ’に替えた、次の式が適切と考えられます。
　logit ｐ ＝ ａ’＋ｂ・log_ｅｔ
　logit ｐ を定義のとおりlog_ｅ｛ｐ／（１－ｐ）｝に戻すと
　 　log_ｅ｛ｐ／（１－ｐ）｝ ＝ ａ’＋ｂ・log_ｅ(ｔ)
　 　log_ｅ｛ｐ／（１－ｐ）｝ ＝ ｂ・｛（ａ’／ｂ）＋log_ｅ(ｔ)｝
　 　log_ｅ｛（ｐ／（１－ｐ）｝＝ log_ｅ｛ｅ＾（ａ’／ｂ）・ｔ｝^ｂ
　ここで、ｅ＾（ａ’／ｂ） ＝ ａとすると、
　 　log_ｅ｛ｐ／（１－ｐ）｝ ＝ log_ｅ｛（ａｔ）^ｂ｝
　 　　　　　　ｐ／（１－ｐ） ＝ （ａｔ）^ｂ
　　　 　　１／（１－ｐ）－１ ＝ （ａｔ）^ｂ
　　　　　　　　１／（１－ｐ）＝ （ａｔ）^ｂ＋１
　　　 　　　　　　　　１－ｐ ＝ ｛（ａｔ）ｂ＋１｝^-１
　　　　　　　　　　　　　ｐ ＝ １－｛（ａｔ）ｂ＋１｝^-１
　　　 「ｇ／Ｇ ＝ ｐ」との定義から、次の関数が得られます。 　　　　 ｇ ＝ Ｇ［１－｛（ａｔ）^ｂ＋１｝^-１］
　 　ｔ：時間，ｇ：発芽率，Ｇ，ａ，ｂ：係数
　　　　
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