発芽曲線
Germination Curve
植物の発芽試験の結果を横軸に時間（ｔ：time）、縦軸に発芽率（ｇ：germination）をとってグラフ化するとＳ字型の曲線になり、「発芽曲線」と呼ばれています。
発芽曲線を数式で近似すれば発芽の特性を数値化できるため、実験結果を表現するのに便利ですが、これまでの研究では、ロジスティック関数やリチャーズ関数など、成長曲線（生物の大きさや重さが時間の経過とともに増加する経過を現した曲線）のために考えられた近似関数をそのまま流用していることが多いようです。
（藤井義晴，渋谷知子，安田環（1990）：他感作用物質検索のための発芽・生育試験の,ロジスチック関数（ＲＩＣＨＡＲＤＳ関数）を用いた解析 雑草研究 Vol.35(4) 353-361）
しかし、係数が３つのロジスティック関数では、実際の発芽データを十分に近似することができません。一方、係数が４つのリチャーズ関数では、係数によって発芽曲線のひずみが変化するので、解析が困難になります。例えば、発芽率が最終発芽率の１/２になる時間Ｍｅを求めて発芽の早さを比較しようとした場合、Ｍｅは同じでも係数が変われば全体の発芽所要時間は長くなったり短くなったりしてしまい、単純に比較することはできません。そもそも、発芽試験を開始した時の発芽率は０ですが、成長曲線の初期値は０ではありませんので、両者は基本的な前提が異なっています。したがって、こうした成長曲線の関数は、発芽試験データの近似に適しているとは言えません。
そこで、発芽曲線の近似に適したものとして次の関数を提案します。
ｇ ＝ Ｇ［１－｛（ａｔ）ｂ＋１｝-１］
または
ｇ ＝ Ｇ／｛１＋（ａｔ）－ｂ｝
ｔ：時間，ｇ：発芽率，Ｇ，ａ，ｂ：係数
この関数は、以下のような性質を持っています。
１．ｔを無限大に近づけていくと、ｇはＧに近づいていく。
ゆえに、Ｇは最終発芽率である。
２．ｇ ＝ Ｇ／２となるｔ、すなわちメジアン（Ｍｅ）は
１／ａである。
３．ｒを１より大きい任意の数とし、発芽した種子のうち
Ｍｅ／ｒ～ｒ・Ｍｅの間に発芽したものの割合をｐｒとすると
ｐｒ ＝ （ｒｂ－１）／（ｒｂ＋１）である。
したがってｂが大きいほどｐｒも大きくなる。
発芽試験では、①発芽の多さ（最終発芽率）、②発芽の早さ、③発芽の集中度の３つの特性が重要ですが、３つの係数Ｇ，ａ，ｂは、これらの発芽特性に１対１対応していることになります。
つまり、発芽試験のデータにこの関数をあてはめて３つの係数の値を求めれば、Ｇは最終発芽率、ａは発芽の早さの示数、ｂは発芽の集中度の示数として、そのまま比較に用いることができます。
各種の発芽試験のデータ解析にご活用いただければ幸いです。
なお、このモデルは次の文献にて発表しました。
植物の発芽曲線と成長曲線（2001年）
（兵庫県生物学会「兵庫の自然 －環境と生き物の現状－」 所収）
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since2025
発芽曲線を数式で近似すれば発芽の特性を数値化できるため、実験結果を表現するのに便利ですが、これまでの研究では、ロジスティック関数やリチャーズ関数など、成長曲線（生物の大きさや重さが時間の経過とともに増加する経過を現した曲線）のために考えられた近似関数をそのまま流用していることが多いようです。
（藤井義晴，渋谷知子，安田環（1990）：他感作用物質検索のための発芽・生育試験の,ロジスチック関数（ＲＩＣＨＡＲＤＳ関数）を用いた解析 雑草研究 Vol.35(4) 353-361）
しかし、係数が３つのロジスティック関数では、実際の発芽データを十分に近似することができません。一方、係数が４つのリチャーズ関数では、係数によって発芽曲線のひずみが変化するので、解析が困難になります。例えば、発芽率が最終発芽率の１/２になる時間Ｍｅを求めて発芽の早さを比較しようとした場合、Ｍｅは同じでも係数が変われば全体の発芽所要時間は長くなったり短くなったりしてしまい、単純に比較することはできません。そもそも、発芽試験を開始した時の発芽率は０ですが、成長曲線の初期値は０ではありませんので、両者は基本的な前提が異なっています。したがって、こうした成長曲線の関数は、発芽試験データの近似に適しているとは言えません。
そこで、発芽曲線の近似に適したものとして次の関数を提案します。
ｇ ＝ Ｇ［１－｛（ａｔ）ｂ＋１｝-１］
または
ｇ ＝ Ｇ／｛１＋（ａｔ）－ｂ｝
ｔ：時間，ｇ：発芽率，Ｇ，ａ，ｂ：係数
この関数は、以下のような性質を持っています。
１．ｔを無限大に近づけていくと、ｇはＧに近づいていく。
ゆえに、Ｇは最終発芽率である。
２．ｇ ＝ Ｇ／２となるｔ、すなわちメジアン（Ｍｅ）は
１／ａである。
３．ｒを１より大きい任意の数とし、発芽した種子のうち
Ｍｅ／ｒ～ｒ・Ｍｅの間に発芽したものの割合をｐｒとすると
ｐｒ ＝ （ｒｂ－１）／（ｒｂ＋１）である。
したがってｂが大きいほどｐｒも大きくなる。
発芽試験では、①発芽の多さ（最終発芽率）、②発芽の早さ、③発芽の集中度の３つの特性が重要ですが、３つの係数Ｇ，ａ，ｂは、これらの発芽特性に１対１対応していることになります。
つまり、発芽試験のデータにこの関数をあてはめて３つの係数の値を求めれば、Ｇは最終発芽率、ａは発芽の早さの示数、ｂは発芽の集中度の示数として、そのまま比較に用いることができます。
各種の発芽試験のデータ解析にご活用いただければ幸いです。
なお、このモデルは次の文献にて発表しました。
植物の発芽曲線と成長曲線（2001年）
（兵庫県生物学会「兵庫の自然 －環境と生き物の現状－」 所収）
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